人格化的熵

      最近看了一篇讨论Gibbs和Blotzman对于熵的统计表达式,孰者更广义的文章。文章发表在上世纪60年代的Physical Review上。其实我觉得关于这两种统计表达式的区别根本没啥好争的:Gibbs的表达式更广义,Blotzman的更具体。不过文章后面对熵这个概念本身做了更深入的探讨,得到了很有意思的结论——熵本身是个人格化的概念。这里的人格化原文用的是anthropomorphic。

      由于热力学是建立在实际经验上的唯象理论,所以有些概念显得很模糊。例如,当初刚开始学习热力学的时候,首先就要确立平衡态的概念。热力学系统是否到达平衡态是通过描述系统的宏观量是否稳定来判断的。且不论多长时间不变才叫稳定,一个体系因研究问题不同描述所需的宏观量也不尽相同,甚至可以说有着无穷个可能的宏观量。熵是后来发现的描述热力学系统的一个重要物理量,而这个量也是联系宏观的热与微观的运动最重要的物理量。但是我们没法对一个系统,如果不符合热力学平衡态的条件,定义一个熵。而且随着热力学体系的不同,熵也会是不同宏观量的函数。

      在Boltzman给出了熵的统计诠释之后,熵这个概念的内涵获得了提升,因此也具有了推广的可能——熵是系统对应于某些确定的宏观量的那些微观状态所占据的相空间体积。当然这个体积是在统计意义下的体积,只有一定概率以上的微观态才算是占据内的。Jaynes在文章里总结道“实际上熵增(热力学第二定律)是实验可重复性带来的结果……因此具备了向非平衡过程推广的可能。”所用的说明方式是很简单的。假设体系处在平衡态a(等同于处在正则分布下),具有宏观量Ua,占据的相空间体积为Wa。在绝热过程中,到达另一状态b,相应的宏观量为Ub。因为经历的是绝热过程,因此系统所占据的相空间中的体积不变(Liouville定理),即Wa=Wb。假设该系统对应宏观量Ub的全部可能的相空间体积为Wb‘,由于实验上的可重复性,通过某次实验由Wa映射来的Wb必然小于等于Wb’。而Wb’是物理上定义的实验可观测熵。这在表观上就是热力学第二定律。实际上如果我们只保留熵正比于对应某个量的相空间体积这个本质,只要这个状态是可重复的,是不是平衡态并不重要,这个熵也一定不会减少。从这个角度上推广开去,熵和统计物理就不用在依附于平衡态这个束缚,也能够加深我们用少数的宏观量描述庞大微观体系的理解。想一想,如果要用几个宏观参量描述一个由10的二十几次方以上数量级的微观运动组成的系统行为是一件多么“狡猾”的事情,这也是为什么当初统计物理要从平衡态热力学发展而来。因为对于平衡态来说,历史效应是无关的,也因此是最简单的。回想起来,这和由经典力学发展成分析力学是多么的相似。哈密顿量和拉格朗日作用量在经典力学上建立起来的同时打开了通往更深层原理的大门。

      最后说一下Boltzman这位统计力学的奠基人吧。Boltzman进行其主要工作的时候,原子这类微观概念还未被科学界所普遍接收。因此很多当时的科学主流攻击他的统计理论,包括已是科学界泰斗的Mach。而支持多是年轻后生,例如后来德国马普的创始人Max Planck,影响力远远无法与批判方相提并论。因此Boltzman在生命中的最后十几年一直竭尽全力地捍卫着自己的心血,与批判方展开全面论战。后于1906年自杀。Boltzman死后葬于维也纳中央公墓,墓志铭上写着他留下的,如今已经写入教科书的熵与相空间体积的关系式。

     “《诗》有之:‘高山仰止,景行行止。’虽不能至,然心向往之。”

Advertisements

  1. 理论科学与实用科学——听Brian Greene演讲有感 « 山海经的一角

发表评论

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / 更改 )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / 更改 )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / 更改 )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / 更改 )

Connecting to %s

%d 博主赞过: